python微元法计算函数曲线长度的方法

计算曲线长度，根据线积分公式：

，令积分函数 f(x,y,z) 为1，即计算曲线的长度，将其微元化：

其中

根据此时便可在python/' target='_blank'>python编程实现，给出4个例子，代码中已有详细注释，不再赘述

'''计算曲线长度，根据线积分公式：\int_A^Bf(x,y,z)dl，令积分函数为1，即计算曲线的长度'''import numpy as npfrom mpl_toolkits.mplot3d import *import matplotlib.pyplot as plt## 求二维圆周长，半径为1，采用参数形式def circle_2d(dt=0.001,plot=True): dt = dt # 变化率 t = np.arange(0,2*np.pi, dt) x = np.cos(t) y = np.sin(t) # print(len(t)) area_list = [] # 存储每一微小步长的曲线长度 for i in range(1,len(t)):  # 计算每一微小步长的曲线长度，dx = x_{i}-x{i-1}，索引从1开始  dl_i = np.sqrt( (x[i]-x[i-1])**2 + (y[i]-y[i-1])**2 )   # 将计算结果存储起来  area_list.append(dl_i) area = sum(area_list)# 求和计算曲线在t:[0,2*pi]的长度 print("二维圆周长：{:.4f}".format(area)) if plot:  fig = plt.figure()  ax = fig.add_subplot(111)  ax.plot(x,y)  plt.title("circle")  plt.show()## 二维空间曲线，采用参数形式def curve_param_2d(dt=0.0001,plot=True): dt = dt # 变化率 t = np.arange(0,2*np.pi, dt) x = t*np.cos(t) y = t*np.sin(t) # print(len(t)) area_list = [] # 存储每一微小步长的曲线长度 # 下面的方式是循环实现 # for i in range(1,len(t)): #  # 计算每一微小步长的曲线长度，dx = x_{i}-x{i-1}，索引从1开始 #  dl_i = np.sqrt( (x[i]-x[i-1])**2 + (y[i]-y[i-1])**2 )  #  # 将计算结果存储起来 #  area_list.append(dl_i) # 更加Pythonic的写法 area_list = [np.sqrt( (x[i]-x[i-1])**2 + (y[i]-y[i-1])**2 ) for i in range(1,len(t))] area = sum(area_list)# 求和计算曲线在t:[0,2*pi]的长度 print("二维参数曲线长度：{:.4f}".format(area)) if plot:  fig = plt.figure()  ax = fig.add_subplot(111)  ax.plot(x,y)  plt.title("2-D Parameter Curve")  plt.show()## 二维空间曲线def curve_2d(dt=0.0001,plot=True): dt = dt # 变化率 t = np.arange(-6,10, dt) x = t y = x**3/8 - 4*x + np.sin(3*x) # print(len(t)) area_list = [] # 存储每一微小步长的曲线长度 # for i in range(1,len(t)): #  # 计算每一微小步长的曲线长度，dx = x_{i}-x{i-1}，索引从1开始 #  dl_i = np.sqrt( (x[i]-x[i-1])**2 + (y[i]-y[i-1])**2 )  #  # 将计算结果存储起来 #  area_list.append(dl_i) area_list = [np.sqrt( (x[i]-x[i-1])**2 + (y[i]-y[i-1])**2 ) for i in range(1,len(t))] area = sum(area_list)# 求和计算曲线在t:[0,2*pi]的长度 print("二维曲线长度：{:.4f}".format(area)) if plot:  fig = plt.figure()  ax = fig.add_subplot(111)  ax.plot(x,y)  plt.title("2-D Curve")  plt.show()## 三维空间曲线，采用参数形式def curve_3d(dt=0.001,plot=True): dt = dt # 变化率 t = np.arange(0,2*np.pi, dt) x = t*np.cos(t) y = t*np.sin(t) z = 2*t # print(len(t)) area_list = [] # 存储每一微小步长的曲线长度 for i in range(1,len(t)):  # 计算每一微小步长的曲线长度，dx = x_{i}-x{i-1}，索引从1开始  dl_i = np.sqrt( (x[i]-x[i-1])**2 + (y[i]-y[i-1])**2 + (z[i]-z[i-1])**2 )   # 将计算结果存储起来  area_list.append(dl_i) area = sum(area_list)# 求和计算曲线在t:[0,2*pi]的长度 print("三维空间曲线长度：{:.4f}".format(area)) if plot:  fig = plt.figure()  ax = fig.add_subplot(111,projection='3d')  ax.plot(x,y,z)  plt.title("3-D Curve")  plt.show()if __name__ == '__main__': circle_2d(plot=True) curve_param_2d(plot=True) curve_2d(plot=True) curve_3d(plot=True)

得到结果：

二维圆周长：6.2830二维参数曲线长度：21.2558二维曲线长度：128.2037三维空间曲线长度：25.3421

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